Kurs Arithmetica Linearis

Wstęp

Prezentowana Arithmetica Linearis (metoda liczenia żetonami na stole rachunkowym- abaku), powszechna była w średniowieczu przed początkiem XV-go wieku, czyli przed początkiem upowszechniania się zapisu liczb cyframi arabskimi.  Tradycja dokonywania obliczeń na abaku przetrwała znacznie dłużej, lecz zmieniła się technika rachunkowa na podobną do liczenia piśmiennego na cyfrach, wykorzystująca znajomość tabliczki mnożenia.

Umiejętność rachowania na liczbach rzymskich w zakresie dodawania i odejmowania mogła być dość powszechna. Dopiero mnożenie i dzielenie wymagało staranniejszej nauki, a przede wszystkim opanowania całego mnemotechnicznego warsztatu rachmistrza. W przeciwnym wypadku wynik działania mógłby być niepewny.

Rachmistrz, który opanował dziewięć operacji:

  • numeratio – przenoszenie liczby z zapisu piśmiennego liczbami rzymskimi na stół abakowy i zapisywanie wyniku z figury na zapis piśmienny,
  • elevatio – ściąganie,
  • resolvatio – rozmienianie,
  • additio – dodawanie,
  • subtractio – odejmowanie,
  • duplatio – podwajanie,
  • mediatio – połowienie,
  • multiplicatio – mnożenie,
  • divisio – dzielenie,

i wykonywał je zgodnie ze wskazówkami, dzięki precyzji algorytmu, nie mógł popełnić błędu.

Opanowanie technik rachmistrzowskich było wstępem do wykonywania obliczeń  i rozwiązywania problemów matematycznych, m.in. znajdowania radix quadratum i radix qubicum (podstawy kwadratu i sześcianu), liczby łamanej (ułmków), Regula Detri (znajdowanie niewiadomej z proporcji) i innych.

Przedstawiona podstawa Liczenia na liniach jest wynikiem kilkuletnich studiów i eksperymentów przeprowadzonych przez Witolda Łuczyńskiego i członków grupy Cives Glogoviae 1253. Jest to rekonstrukcja zapomnianej metody obliczeń, której algorytm oparty jest na podwajaniu i połowieniu.

-

Numeratio

Na abaku średniowiecznym prowadzimy obliczenia na liczbach rzymskich, gdzie

  • I oznacza jeden
  • V oznacza pięć
  • X oznacza dziesięć
  • L oznacza pięćdziesiąt
  • C oznacza sto
  • D oznacza pięćset
  • M oznacza tysiąc

Wartość danej liczby jest sumą wartości liter składających się na liczbę.
Przy zapisywaniu liczb rzymskich możliwe jest stosowanie zapisu skróconego polegającego na zapisaniu np. IIII jako IV, CCCC jako CD itp.
Liczby w zapisie rzymskim skróconym np. MCDXLIV przepisujemy na zapis prosty MCCCCXXXXLIIII.

Obliczenia na liniach rozpoczynamy od przeniesienia liczby na abak.
Na liniach rozkładamy żetony stawiając po jednym żetonie za każdą literę odpowiednio:

  • za I żeton na pierwszej (najniższej) linii
  • za X żeton na drugiej linii
  • za C żeton na trzeciej linii
  • za M żeton na czwartej linii (zaznaczonej krzyżykiem)

Pomiędzy liniami (w spacio) stawiamy:

  • pomiędzy linią I i X żeton za V
  • pomiędzy linią X i C żeton za L
  • pomiędzy linią C i M żeton za D

Po zapisaniu liczby żetonami na abaku przestajemy traktować układ żetonów jako liczbę lecz jako figurę tej liczby. Figurą jest nie tylko układ żetonów całej liczby lecz również jej część lub tylko układ na pojedynczej linii lub w spacio.

animacja

-

Elevatio

Ściąganie wykonuje się w następujący sposób:

  • każde pięć żetonów z linii zamień na jeden żeton w spacio powyżej tej linii,
  • każde dwa żetony w spacio zamień na jeden żeton na linii powyżej tego spacio.

Elevatio należy zaczynać od dołu.

animacja

-

Resolvatio

Rozmienianie wykonuje się w następujący sposób:

  • jeden żeton z linii zamień na dwa żetony w spacio pod tą linią
  • jeden żeton ze spacio zamień na pięć żetonów na linii pod tym spacio.

Resolvatio należy zaczynać od góry.

animacja

-

Additio

Dodawania wykonuje się następująco:

Rozkładamy żetony figur dodawanych liczb w osobnych kolumnach, następnie zsuwamy razem poziomo zgodnie z liniami i spacio i wykonujemy elewatio zaczynając od dołu (najniższej linii).

animacja

-

Subtractio

Odejmowanie wykonuje się następująco:

Rozkładamy żetony figur odejmowanych liczb i równocześnie z obu figur zabieramy żetony leżące na tym samym poziomie na linii i w spacio. Jeśli na którymś poziomie w liczbie, od której odejmujemy brakuje żetonu wykonujemy resolvatio i kontynuujemy odejmowanie. Odejmowanie jest zakończone gdy zdejmiemy ze stołu ostatni żeton figury liczby, którą odejmujemy.

animacja

-

Duplatio

Podwajanie wykonuje się następująco:

  • jeśli jest jeden żeton na linii – dołóż drugi,
  • jeśli są dwa żetony na linii – dołóż następne dwa,
  • jeśli są trzy żetony na linii – jeden zabierz, drugi przesuń w spacio nad tą linią, trzeci pozostaw na miejscu,
  • jeśli są cztery żetony na linii – jeden przesuń w spacio nad tą linią, pozostałe pozostaw na miejscu,
  • jeśli jest żeton w spacio – przesuń go na linię powyżej tego spacio.

Duplatio figury obejmującej kilka linii zaczynamy wykonywać od góry.

animacja

-

Mediatio

Połowienie wykonuje się następująco:

  • jeśli jest jeden żeton na linii – przesuń go w spacio pod tą linią,
  • jeśli są dwa żetony na linii – zabierz jeden, drugi pozostaw na miejscu,
  • jeśli są trzy żetony na linii – jeden zabierz, drugi przesuń w spacio pod tą linią, trzeci pozostaw na miejscu,
  • jeśli są cztery żetony na linii – zabierz dwa, pozostałe pozostaw na miejscu,
  • jeśli jest żeton w spacio – przesuń go o jedno spacio niżej i postaw dwa na linii nad tym spacio.

Mediatio figury obejmującej kilka linii zaczynamy wykonywać od dołu.

animacja

-

Multiplicatio

Mnożenie wykonuje się następująco:

W pierwszej i drugiej kolumnie połóż żetony liczb które mnożysz.

Następnie wykonuj:

1. połóż palec lewej ręki na najwyższej linii, na której, lub pod którą, są żetony pierwszej liczby,
2. w trzeciej kolumnie, od linii, którą trzymasz palcem, połóż figurę drugiej liczby
3. jeśli :

  • na linii znajduje się jeden żeton – wynik mnożenia to ta sama figura, więc przesuń ją do czwartej kolumny,
  • na linii znajdują się dwa żetony – wykonaj duplatio, wykonaj elevatio i wynik przesuń do czwartej kolumny,
  • na linii znajdują się trzy żetony – wykonaj duplatio i dołóż figurę mnożonej liczby, wykonaj elevatio i przesuń do czwartej kolumny,
  • na linii znajdują się cztery żetony – wykonaj duplatio i duplatio tego co wyszło, wykonaj elevatio i wynik przesuń do czwartej kolumny,
  • w spacio pod linią jest żeton –  wykonaj mediatio i wynik przesuń do czwartej kolumny.

4. przesuń palec na niższą linię i wykonuj tak samo jak powyżej, z tym, że wynik przesuwany do czwartej kolumny dodawaj za każdym razem do tego co tam jest i wykonuj elevatio.

animacja

-

Divisio

Dzielenie wykonuje się następująco:

W pierwszej kolumnie połóż żetony liczby, którą dzielisz, w drugiej liczby, przez którą dzielisz.

W trzeciej kolumnie połóż figurę liczby, którą dzielisz.

Następnie odejmuj od niej liczbę, przez którą dzielisz. Za każde odjęcie pojedyncze połóż jeden żeton w czwartej kolumnie na linii jedności, za odjęcie jej pięciokrotności żeton za piątkę, za odjęcie dziesięciokrotności jeden żeton na dziesiątkę i podobnie dla wyższych krotności.

Jeśli w figurze liczby dzielonej nie widać figury liczby, przez którą dzielisz, pomagaj sobie wykonując resolvatio.

Odejmuj aż w figurze liczby dzielonej nie da się już wydzielić ani jednej figury liczby, przez którą dzielisz. Wtedy zapisz to jako resztę, albo przelicz na mniejsze części (np. uncje) i dziel dalej, ale pamiętaj aby zapisać wynik w tych częściach.

animacja

-

Możliwość komentowania jest wyłączona.